Différence entre l'équation linéaire et l'équation quadratique

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 13:38

Équation linéaire vs équation quadratique

En mathématiques, les équations algébriques sont des équations formées à l'aide de polynômes. Lorsqu'elles sont écrites explicitement, les équations seront de la forme P(x)=0, où x est un vecteur de n variables inconnues et P est un polynôme. Par exemple, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 est une équation algébrique de deux variables écrite explicitement. Aussi, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ est une équation algébrique, mais sous une forme implicite. Il prendra la forme Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, une fois écrit explicitement.}

Une caractéristique importante d'une équation algébrique est son degré. Il est défini comme étant la puissance la plus élevée des termes apparaissant dans l'équation. Si un terme se compose de deux variables ou plus, la somme des exposants de chaque variable sera considérée comme étant la puissance du terme. Remarquons que selon cette définition P(x, y)=0 est de degré 4 tandis que Q(x, y, z)=0 est de degré 5.

Les équations linéaires et les équations quadratiques sont deux types différents d'équations algébriques. Le degré de l'équation est le facteur qui les différencie du reste des équations algébriques.

Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?

Une équation linéaire est une équation algébrique de degré 1. Par exemple, 4x + 5=0 est une équation linéaire à une variable. x + y + 5z=0 et 4x=3w + 5y + 7z sont des équations linéaires de 3 et 4 variables respectivement. En général, une équation linéaire de n variables prendra la forme m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Ici, x_i's sont les variables inconnues, m_i's et b sont des nombres réels où chacun des m_i est différent de zéro.

Une telle équation représente un hyperplan dans l'espace euclidien à n dimensions. En particulier, une équation linéaire à deux variables représente une ligne droite dans le plan cartésien et une équation linéaire à trois variables représente un plan sur l'espace 3 euclidien.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Une équation quadratique est une équation algébrique du second degré. x² + 3x + 2=0 est une équation quadratique à une seule variable. x² + y² + 3x=4 et 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 sont des exemples d'équations quadratiques de 2 et 3 variables respectivement.}

Dans le cas d'une seule variable, la forme générale d'une équation quadratique est ax² + bx + c=0. Où a, b, c sont des nombres réels dont 'a' est différent de zéro. Le discriminant ∆=(b^{2 – 4ac) détermine la nature des racines de l'équation quadratique. Les racines de l'équation seront réelles distinctes, réelles semblables et complexes selon que ∆ est positif, nul et négatif. Les racines de l'équation peuvent être facilement trouvées en utilisant la formule x=(- b ± √∆) / 2a.}

Dans le cas à deux variables, la forme générale serait ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, et cela représente une conique (parabole, hyperbole ou ellipse) dans le plan cartésien. En dimension supérieure, ce type d'équations représente des hyper-surfaces appelées quadriques.}

Quelle est la différence entre les équations linéaires et quadratiques ?

• Une équation linéaire est une équation algébrique de degré 1, tandis qu'une équation quadratique est une équation algébrique de degré 2.

• Dans l'espace euclidien à n dimensions, l'espace des solutions d'une équation linéaire à n variables est un hyperplan tandis que celui d'une équation quadratique à n variables est une surface quadrique.