Équation linéaire vs équation non linéaire
En mathématiques, les équations algébriques sont des équations formées à l'aide de polynômes. Lorsqu'elles sont écrites explicitement, les équations seront de la forme P(x)=0, où x est un vecteur de n variables inconnues et P est un polynôme. Par exemple, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 est une équation algébrique à deux variables écrite explicitement. Aussi, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 est une équation algébrique, mais sous forme implicite et il prendra la forme Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, une fois écrit explicitement.
Une caractéristique importante d'une équation algébrique est son degré. Il est défini comme étant la puissance la plus élevée des termes apparaissant dans l'équation. Si un terme se compose de deux variables ou plus, la somme des exposants de chaque variable sera considérée comme étant la puissance du terme. Remarquons que selon cette définition P(x, y)=0 est de degré 5, tandis que Q(x, y, z)=0 est de degré 5.
Les équations linéaires et les équations non linéaires sont une partition en deux définie sur l'ensemble des équations algébriques. Le degré de l'équation est le facteur qui les différencie les uns des autres.
Qu'est-ce qu'une équation linéaire ?
Une équation linéaire est une équation algébrique de degré 1. Par exemple, 4x + 5=0 est une équation linéaire à une variable. x + y + 5z=0 et 4x=3w + 5y + 7z sont des équations linéaires de 3 et 4 variables respectivement. En général, une équation linéaire de n variables prendra la forme m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Ici, xi's sont les variables inconnues, mi's et b sont des nombres réels où chacun des mi est différent de zéro.
Une telle équation représente un hyperplan dans l'espace euclidien à n dimensions. En particulier, une équation linéaire à deux variables représente une ligne droite dans le plan cartésien et une équation linéaire à trois variables représente un plan sur l'espace 3 euclidien.
Qu'est-ce qu'une équation non linéaire ?
Une équation quadratique est une équation algébrique, qui n'est pas linéaire. En d'autres termes, une équation non linéaire est une équation algébrique de degré 2 ou plus. x2 + 3x + 2=0 est une équation non linéaire à une seule variable. x2 + y3+ 3xy=4 et 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 sont des exemples d'équations non linéaires à 3 et 4 variables respectivement.
Une équation non linéaire du second degré est appelée une équation quadratique. Si le degré est 3, alors on l'appelle une équation cubique. Les équations de degré 4 et de degré 5 sont respectivement appelées équations quartiques et quintiques. Il a été prouvé qu'il n'existe pas de méthode analytique pour résoudre une équation non linéaire de degré 5, et cela est vrai aussi pour tout degré supérieur. Les équations non linéaires solubles représentent des hyper surfaces qui ne sont pas des hyper plans.
Quelle est la différence entre une équation linéaire et une équation non linéaire ?
• Une équation linéaire est une équation algébrique de degré 1, mais une équation non linéaire est une équation algébrique de degré 2 ou plus.
• Même si toute équation linéaire peut être résolue analytiquement, ce n'est pas le cas dans les équations non linéaires.
• Dans l'espace euclidien à n dimensions, l'espace des solutions d'une équation linéaire à n variables est un hyper plan, tandis que celui d'une équation non linéaire à n variables est une hyper surface, qui n'est pas un hyper plan. (Quadriques, surfaces cubiques et etc.)
