Équations différentielles linéaires vs non linéaires
Une équation contenant au moins un coefficient différentiel ou une dérivée d'une variable inconnue est appelée équation différentielle. Une équation différentielle peut être linéaire ou non linéaire. Le but de cet article est d'expliquer ce qu'est une équation différentielle linéaire, ce qu'est une équation différentielle non linéaire et quelle est la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires.
Depuis le développement du calcul au 18ème siècle par des mathématiciens comme Newton et Leibnitz, l'équation différentielle a joué un rôle important dans l'histoire des mathématiques. Les équations différentielles sont d'une grande importance en mathématiques en raison de leur gamme d'applications. Les équations différentielles sont au cœur de chaque modèle que nous développons pour expliquer n'importe quel scénario ou événement dans le monde, que ce soit en physique, ingénierie, chimie, statistiques, analyse financière ou biologie (la liste est interminable). En fait, jusqu'à ce que le calcul devienne une théorie établie, les outils mathématiques appropriés n'étaient pas disponibles pour analyser les problèmes intéressants de la nature.
Les équations résultant d'une application spécifique du calcul peuvent être très complexes et parfois impossibles à résoudre. Cependant, il y en a que nous pouvons résoudre, mais qui peuvent se ressembler et prêter à confusion. Par conséquent, pour une identification plus facile, les équations différentielles sont classées en fonction de leur comportement mathématique. Linéaire et non linéaire est une telle catégorisation. Il est important d'identifier la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires.
Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire ?
Supposons que f: X→Y et f(x)=y, une équation différentielle sans termes non linéaires de la fonction inconnue y et de ses dérivées est connue sous le nom d'équation différentielle linéaire.
Il impose la condition que y ne peut pas avoir des termes d'indice supérieurs tels que y2, y3, … et des multiples de dérivées tels comme
Il ne peut pas non plus contenir de termes non linéaires tels que Sin y, e y ^-2 ou ln y. Il prend la forme
où y et g sont des fonctions de x. L'équation est une équation différentielle d'ordre n, qui est l'indice de la dérivée d'ordre le plus élevé.
Dans une équation différentielle linéaire, l'opérateur différentiel est un opérateur linéaire et les solutions forment un espace vectoriel. En raison de la nature linéaire de l'ensemble de solutions, une combinaison linéaire des solutions est également une solution à l'équation différentielle. Autrement dit, si y1 et y2 sont des solutions de l'équation différentielle, alors C1 y 1+ C2 y2 est aussi une solution.
La linéarité de l'équation n'est qu'un paramètre de la classification, et elle peut en outre être classée en équations différentielles homogènes ou non homogènes et ordinaires ou partielles. Si la fonction est g=0 alors l'équation est une équation différentielle homogène linéaire. Si f est une fonction de deux variables indépendantes ou plus (f: X, T→Y) et f(x, t)=y, alors l'équation est une équation différentielle partielle linéaire.
La méthode de résolution de l'équation différentielle dépend du type et des coefficients de l'équation différentielle. Le cas le plus simple se présente lorsque les coefficients sont constants. Un exemple classique pour ce cas est la deuxième loi du mouvement de Newton et ses diverses applications. La deuxième loi de Newton produit une équation différentielle linéaire du second ordre avec des coefficients constants.
Qu'est-ce qu'une équation différentielle non linéaire ?
Les équations contenant des termes non linéaires sont appelées équations différentielles non linéaires.
Toutes les équations ci-dessus sont des équations différentielles non linéaires. Les équations différentielles non linéaires sont difficiles à résoudre, par conséquent, une étude approfondie est nécessaire pour obtenir une solution correcte. Dans le cas des équations aux dérivées partielles, la plupart des équations n'ont pas de solution générale. Par conséquent, chaque équation doit être traitée indépendamment.
L'équation de Navier-Stokes et l'équation d'Euler en dynamique des fluides, les équations de champ d'Einstein de la relativité générale sont des équations aux dérivées partielles non linéaires bien connues. Parfois, l'application de l'équation de Lagrange à un système de variables peut aboutir à un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires.
Quelle est la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires ?
• Une équation différentielle, qui n'a que les termes linéaires de la variable inconnue ou dépendante et de ses dérivées, est connue sous le nom d'équation différentielle linéaire. Il n'a pas de terme avec la variable dépendante d'indice supérieur à 1 et ne contient aucun multiple de ses dérivées. Il ne peut pas avoir de fonctions non linéaires telles que des fonctions trigonométriques, des fonctions exponentielles et des fonctions logarithmiques par rapport à la variable dépendante. Toute équation différentielle contenant les termes mentionnés ci-dessus est une équation différentielle non linéaire.
• Les solutions d'équations différentielles linéaires créent un espace vectoriel et l'opérateur différentiel est également un opérateur linéaire dans l'espace vectoriel.
• Les solutions des équations différentielles linéaires sont relativement plus faciles et des solutions générales existent. Pour les équations non linéaires, dans la plupart des cas, la solution générale n'existe pas et la solution peut être spécifique au problème. Cela rend la solution beaucoup plus difficile que les équations linéaires.
