Différence entre la série Power et la série Taylor

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 13:38

Power Series vs Taylor Series

En mathématiques, une suite réelle est une liste ordonnée de nombres réels. Formellement, c'est une fonction de l'ensemble des nombres naturels dans l'ensemble des nombres réels. Si a_n est le n^ième terme d'une suite, on note la suite par ou par un ₁, a ₂, …, a_n, …. Par exemple, considérons la séquence 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Il peut être noté {1/n}.}

Il est possible de définir une série à l'aide de séquences. Une série est la somme des termes d'une suite. Ainsi, pour chaque séquence, il y a une séquence associée et vice-versa. Si {a_{n} est la séquence considérée, alors, la série formée par cette séquence peut être représentée comme:}

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, la série associée est 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Comme son nom l'indique, la série de puissances est un type spécial de série et elle est largement utilisée dans l'analyse numérique et la modélisation mathématique associée. La série Taylor est une série de puissances spéciale qui fournit une manière alternative et facile à manipuler de représenter des fonctions bien connues.

Qu'est-ce que la série Power ?

Une série entière est une série de la forme

qui est convergente (éventuellement) pour un intervalle centré en c. Les coefficients a_{npeuvent être des nombres réels ou complexes, et sont indépendants de x; c'est-à-dire la variable muette.}

Par exemple, en définissant a_n=1 pour chaque n, et c=0, la série de puissance 1+x+x² +…..+ x^{+… est obtenu. Il est facile d'observer que lorsque x ε (-1, 1), cette série entière converge vers 1/(1-x).}

Une série entière converge quand x=c. Les autres valeurs de x pour lesquelles la série entière converge prendront toujours la forme d'un intervalle ouvert centré en c. Autrement dit, il y aura une valeur 0≤ R ≤ ∞ telle que pour chaque x satisfaisant |x-c|≤ R, la série de puissances est convergente et pour chaque x satisfaisant |x-c|> R, la série de puissances est divergente. Cette valeur R est appelée rayon de convergence de la série entière (R peut prendre n'importe quelle valeur réelle ou l'infini positif).

Les séries de puissance peuvent être additionnées, soustraites, multipliées et divisées en utilisant les règles suivantes. Considérez les deux séries de puissance:

Ensuite,

c'est-à-dire des termes similaires sont ajoutés ou soustraits ensemble. En outre, il est possible de multiplier et de diviser les deux séries de puissance en utilisant l'identité,

Qu'est-ce que la série de Taylor ?

La série de Taylor est définie pour une fonction f (x) qui est infiniment différentiable sur un intervalle. Supposons que f (x) est différentiable sur un intervalle centré en c. Ensuite, la série de puissance qui est donnée par

est appelé le développement en série de Taylor de la fonction f (x) autour de c. (Ici f⁽ⁿ⁾ (c) désigne la n^{th dérivé en x=c). En analyse numérique, un nombre fini de termes dans cette expansion infinie est utilisé pour calculer les valeurs aux points où la série converge vers la fonction d'origine.}

Une fonction f (x) est dite analytique dans l'intervalle (a, b), si pour tout x ε (a, b), la série de Taylor de f (x) converge vers la fonction f (X). Par exemple, 1/(1-x) est analytique sur (-1, 1), puisque son développement de Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… converge vers la fonction sur cet intervalle, et e}x ^{est analytique partout, puisque la série de Taylor de e}x ^{converge vers e} x ^{pour chaque nombre réel x.}

Quelle est la différence entre la série Power et la série Taylor ?

1. La série de Taylor est une classe spéciale de séries de puissance définies uniquement pour les fonctions qui sont infiniment différentiables sur un intervalle ouvert.

2. La série Taylor prend la forme spéciale

alors qu'une série de puissance peut être n'importe quelle série de la forme