Nombres réels vs nombres imaginaires
Les nombres sont des objets mathématiques utilisés pour compter et mesurer. Sa définition a changé au fil des ans avec l'ajout du zéro, des nombres négatifs, des nombres rationnels, des nombres irrationnels et des nombres imaginaires. Même si la base abstraite des systèmes de numération concerne les structures algébriques telles que les groupes, les anneaux et les corps, seule une idée intuitive est présentée ici.
Qu'est-ce qu'un nombre réel ?
Définition informelle, un nombre réel est un nombre dont le carré est non négatif. En notation mathématique, on note l'ensemble des nombres réels par le symbole R. Donc pour tout x, si x ϵ R alors x 2 ≥ 0. De manière plus rigoureuse, on peut introduire l'ensemble des nombres réels comme l'unique corps complet totalement ordonné avec l'opération binaire + et. avec la relation d'ordre <. Cette relation d'ordre suit la loi de la trichotomie, qui stipule que, étant donné deux nombres réels x et y, un et un seul de ces 3 est vrai; x > y, x < y ou x=y.
Un nombre réel peut être algébrique ou transcendant selon qu'il est racine d'une équation polynomiale à coefficients entiers ou non. De plus, un nombre réel peut être rationnel ou irrationnel selon qu'il peut être exprimé comme un rapport de deux entiers ou non. Par exemple, 2,5 est un nombre réel, qui est algébrique et rationnel, mais ᴫ est à la fois irrationnel et transcendantal.
L'ensemble des nombres réels est complet. Cela signifie que pour chaque sous-ensemble non vide de nombres réels qui est délimité au-dessus, a une plus grande borne supérieure, et de cela, on peut en déduire que pour chaque sous-ensemble non vide de nombres réels qui est délimité en dessous, a la plus grande borne inférieure. Cela distingue l'ensemble des nombres réels de l'ensemble des nombres rationnels. On peut affirmer que l'ensemble des nombres réels est construit en remplissant les lacunes d'un ensemble de nombres rationnels incomplets, les lacunes étant des nombres irrationnels.
Qu'est-ce qu'un nombre imaginaire ?
Un nombre imaginaire est un nombre dont le carré est négatif. En d'autres termes, des nombres comme √(-1), √(-100) et √(- e) sont des nombres imaginaires. Tous les nombres imaginaires peuvent être écrits sous la forme a i où i est « l'unité imaginaire » √(-1) et a est un nombre réel non nul. (Observez que i2=-1). Bien que ces chiffres semblent irréels et, comme leur nom l'indique, inexistants, ils sont utilisés dans de nombreuses applications essentielles du monde réel, dans des domaines tels que l'aviation, l'électronique et l'ingénierie.
Quelle est la différence entre les nombres réels et les nombres imaginaires ?• Le carré d'un nombre réel est non négatif, mais le carré d'un nombre imaginaire est négatif. • L'ensemble des nombres réels forme un champ complet totalement ordonné alors que l'ensemble des nombres imaginaires n'est ni complet ni ordonné. |
