Série de Fourier vs Transformée de Fourier
La série de Fourier décompose une fonction périodique en une somme de sinus et de cosinus de fréquences et d'amplitudes différentes. La série de Fourier est une branche de l'analyse de Fourier et elle a été introduite par Joseph Fourier. La transformée de Fourier est une opération mathématique qui décompose un signal en ses fréquences constitutives. Le signal d'origine qui a changé au fil du temps est appelé la représentation dans le domaine temporel du signal. La transformée de Fourier est appelée représentation dans le domaine fréquentiel d'un signal car elle dépend de la fréquence. La représentation dans le domaine fréquentiel d'un signal et le processus utilisé pour transformer ce signal dans le domaine fréquentiel sont appelés transformées de Fourier.
Qu'est-ce que la série de Fourier ?
Comme mentionné précédemment, la série de Fourier est une extension d'une fonction périodique utilisant une somme infinie de sinus et de cosinus. La série de Fourier a été initialement développée lors de la résolution d'équations de chaleur, mais plus tard, il a été découvert que la même technique pouvait être utilisée pour résoudre un grand nombre de problèmes mathématiques, en particulier les problèmes impliquant des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Aujourd'hui, la série de Fourier a des applications dans un grand nombre de domaines, notamment l'ingénierie électrique, l'analyse des vibrations, l'acoustique, l'optique, le traitement du signal, le traitement de l'image, la mécanique quantique et l'économétrie. Les séries de Fourier utilisent les relations d'orthogonalité des fonctions sinus et cosinus. Le calcul et l'étude des séries de Fourier est connu sous le nom d'analyse harmonique et est très utile lorsque vous travaillez avec des fonctions périodiques arbitraires, car il permet de décomposer la fonction en termes simples qui peuvent être utilisés pour obtenir une solution au problème d'origine.
Qu'est-ce que la transformée de Fourier ?
La transformée de Fourier définit une relation entre un signal dans le domaine temporel et sa représentation dans le domaine fréquentiel. La transformée de Fourier décompose une fonction en fonctions oscillatoires. Puisqu'il s'agit d'une transformation, le signal d'origine peut être obtenu en connaissant la transformation, ainsi aucune information n'est créée ou perdue dans le processus. L'étude de la série de Fourier fournit en fait la motivation pour la transformée de Fourier. En raison des propriétés des sinus et des cosinus, il est possible de récupérer la quantité de chaque onde contribue à la somme en utilisant une intégrale. La transformée de Fourier possède certaines propriétés de base telles que la linéarité, la translation, la modulation, la mise à l'échelle, la conjugaison, la dualité et la convolution. La transformée de Fourier est appliquée à la résolution d'équations différentielles puisque la transformée de Fourier est étroitement liée à la transformation de Laplace. La transformée de Fourier est également utilisée en résonance magnétique nucléaire (RMN) et dans d'autres types de spectroscopie.
Différence entre la série de Fourier et la transformée de Fourier
La série de Fourier est une extension du signal périodique sous la forme d'une combinaison linéaire de sinus et de cosinus, tandis que la transformée de Fourier est le processus ou la fonction utilisée pour convertir les signaux du domaine temporel au domaine fréquentiel. La série de Fourier est définie pour les signaux périodiques et la transformée de Fourier peut être appliquée aux signaux apériodiques (se produisant sans périodicité). Comme mentionné ci-dessus, l'étude des séries de Fourier fournit en fait une motivation pour la transformée de Fourier.
