Moyenne vs Médiane vs Mode
La moyenne, la médiane et le mode sont les principales mesures de la tendance centrale utilisées dans les statistiques descriptives. Ils sont complètement différents les uns des autres et les cas dans lesquels ils sont utilisés pour résumer les données sont également différents.
Moyenne
La moyenne arithmétique est la somme des valeurs de données divisée par le nombre de valeurs de données, c'est-à-dire
[latex]\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2} +x_{3}+…+x_{n}}{n}[/latex]
Si les données proviennent d'un espace d'échantillonnage, elles sont appelées une moyenne d'échantillon ([latex]\bar{x} [/latex]), qui est une statistique descriptive de l'échantillon. Bien qu'il s'agisse de la mesure descriptive la plus couramment utilisée pour un échantillon, ce n'est pas une statistique robuste. Il est très sensible aux valeurs aberrantes et aux oscillations.
Par exemple, considérons le revenu moyen des citoyens d'une ville donnée. Étant donné que toutes les valeurs des données sont additionnées puis divisées, le revenu d'une personne extrêmement riche affecte considérablement la moyenne. Par conséquent, les valeurs moyennes ne sont pas toujours une bonne représentation des données.
Aussi, dans le cas d'un signal alternatif, le courant traversant un élément varie périodiquement du sens positif au sens négatif et inversement. Si nous prenons le courant moyen traversant l'élément en une seule période, cela donnera un 0, ce qui signifie qu'aucun courant n'a traversé l'élément, ce qui n'est évidemment pas vrai. Par conséquent, dans ce cas également, la moyenne arithmétique n'est pas une bonne mesure.
La moyenne arithmétique est un bon indicateur lorsque les données sont uniformément réparties. Pour une distribution normale, la moyenne est égale au mode et à la médiane. Il a également les résidus les plus bas lorsque l'on considère l'erreur quadratique moyenne; par conséquent, la meilleure mesure descriptive lorsqu'il est nécessaire de représenter un ensemble de données par un seul nombre.
Médiane
Les valeurs du point de données du milieu après avoir organisé toutes les valeurs de données dans l'ordre croissant sont définies comme la médiane de l'ensemble de données. La médiane est le 2e quartile, le 5e décile et le 50e centile.
• Si le nombre d'observations (points de données) est impair, alors la médiane est l'observation exactement au milieu de la liste ordonnée.
• Si le nombre d'observations (points de données) est pair, alors la médiane est la moyenne des deux observations du milieu dans la liste ordonnée.
Médian divise l'observation en deux groupes; c'est-à-dire un groupe (50%) de valeurs supérieures et un groupe (50%) de valeurs inférieures à la médiane. Les médianes sont spécifiquement utilisées dans les distributions asymétriques et représentent les données plutôt mieux que la moyenne arithmétique.
Mode
Mode est le nombre le plus fréquent dans un ensemble d'observations. Le mode d'un ensemble de données est calculé en trouvant la fréquence de chaque élément dans l'ensemble.
• Si aucune valeur n'apparaît plus d'une fois, alors l'ensemble de données n'a pas de mode.
• Sinon, toute valeur qui apparaît avec la plus grande fréquence est un mode de l'ensemble de données.
Plus d'un mode peut exister dans un ensemble; par conséquent, le mode n'est pas une statistique unique d'un ensemble de données. Dans une distribution uniforme, il existe un mode. Le mode d'une distribution de probabilité discrète est le point où la fonction de masse de probabilité atteint son point le plus élevé. Rendu des interprétations ci-dessus, nous pouvons dire que les maxima globaux sont des modes.
Envisagez l'application des trois mesures à l'ensemble de données suivant.
DONNÉES: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15, 15}
Moyenne=(1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15) / 25=8.12
Médiane=9 (13ème élément)
Mode=9 (fréquence de 9=5)
Quelle est la différence entre la moyenne, la médiane et le mode ?
• La moyenne arithmétique est la somme des valeurs (observations) divisée par le nombre d'observations. Ce n'est pas une statistique robuste, et fortement dépendante de la nature de la distribution normale au sein de la distribution considérée. Une seule valeur aberrante peut entraîner un déplacement significatif de la moyenne, donnant des valeurs relativement trompeuses. Le concept peut être étendu à la moyenne géométrique, à la moyenne harmonique, à la moyenne pondérée, etc.
• La médiane correspond aux valeurs médianes de l'ensemble d'observations, et elle est relativement moins affectée par les valeurs aberrantes. Cela peut donner une bonne estimation en tant que statistique récapitulative dans les cas fortement asymétriques.
• Le mode correspond aux valeurs d'observation les plus courantes dans l'ensemble de données. Si la distribution est asymétrique positive, le mode se situe à gauche de la médiane et, s'il est asymétrique négativement, le mode se situe à droite de la médiane.
• Si l'asymétrie est positive, la moyenne correspond à la médiane; si la moyenne négativement asymétrique est à gauche de la médiane.
• Dans la distribution normale, les trois, la moyenne, le mode et la médiane sont égaux.
