Laplace vs Transformées de Fourier
La transformée de Laplace et la transformée de Fourier sont des transformées intégrales, qui sont le plus souvent utilisées comme méthodes mathématiques pour résoudre des systèmes physiques modélisés mathématiquement. Le processus est simple. Un modèle mathématique complexe est converti en un modèle résoluble plus simple à l'aide d'une transformation intégrale. Une fois le modèle le plus simple résolu, la transformation intégrale inverse est appliquée, ce qui fournirait la solution au modèle d'origine.
Par exemple, étant donné que la plupart des systèmes physiques aboutissent à des équations différentielles, elles peuvent être converties en équations algébriques ou en équations différentielles facilement solubles à un degré inférieur à l'aide d'une transformation intégrale. Ensuite, résoudre le problème deviendra plus facile.
Qu'est-ce que la transformée de Laplace ?
Étant donné une fonction f (t) d'une variable réelle t, sa transformée de Laplace est définie par l'intégrale [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (chaque fois qu'il existe), qui est une fonction d'une variable complexe s. Il est généralement noté L { f (t)}. La transformée de Laplace inverse d'une fonction F (s) est considérée comme la fonction f (t) de telle manière que L { f (t)}=F (s), et dans la notation mathématique habituelle nous écrivons, L-1{ F (s)}=f (t). La transformation inverse peut être rendue unique si les fonctions nulles ne sont pas autorisées. On peut identifier ces deux comme des opérateurs linéaires définis dans l'espace des fonctions, et il est également facile de voir que, L -1{ L { f (t)}}=f (t), si les fonctions nulles ne sont pas autorisées.
Le tableau suivant répertorie les transformées de Laplace de certaines des fonctions les plus courantes.
Qu'est-ce que la transformée de Fourier ?
Étant donné une fonction f (t) d'une variable réelle t, sa transformée de Laplace est définie par l'intégrale [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (chaque fois qu'il existe), et est généralement noté F { f (t)}. La transformée inverse F -1{ F (α)} est donnée par l'intégrale [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. La transformée de Fourier est également linéaire et peut être considérée comme un opérateur défini dans l'espace des fonctions.
En utilisant la transformée de Fourier, la fonction d'origine peut être écrite comme suit à condition que la fonction n'ait qu'un nombre fini de discontinuités et soit absolument intégrable.
Quelle est la différence entre la transformée de Laplace et la transformée de Fourier ?
- La transformée de Fourier d'une fonction f (t) est définie comme [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], alors que sa transformée de Laplace est définie comme étant [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- La transformée de Fourier est définie uniquement pour les fonctions définies pour tous les nombres réels, alors que la transformée de Laplace ne nécessite pas que la fonction soit définie sur l'ensemble des nombres réels négatifs.
- La transformée de Fourier est un cas particulier de la transformée de Laplace. On peut voir que les deux coïncident pour les nombres réels non négatifs. (i.e. prendre s dans le Laplace comme étant iα + β où α et β sont réels tels que e β=1/ √(2ᴫ))
- Chaque fonction qui a une transformée de Fourier aura une transformée de Laplace mais pas l'inverse.
