Orthogonal vs Orthonormal
En mathématiques, les deux mots orthogonal et orthonormé sont fréquemment utilisés avec un ensemble de vecteurs. Ici, le terme «vecteur» est utilisé dans le sens où il s'agit d'un élément d'un espace vectoriel - une structure algébrique utilisée en algèbre linéaire. Pour notre discussion, nous considérerons un espace de produit interne - un espace vectoriel V avec un produit interne défini sur V.
A titre d'exemple, pour un produit interne, l'espace est l'ensemble de tous les vecteurs de position tridimensionnels avec le produit scalaire habituel.
Qu'est-ce qui est orthogonal ?
Un sous-ensemble non vide S d'un espace scalaire V est dit orthogonal, si et seulement si pour chaque u, v distinct dans S, [u, v]=0; c'est-à-dire que le produit interne de u et v est égal au scalaire zéro dans l'espace du produit interne.
Par exemple, dans l'ensemble de tous les vecteurs de position tridimensionnels, cela revient à dire que, pour chaque paire distincte de vecteurs de position p et q dans S, p et q sont perpendiculaires l'un à l'autre. (Rappelez-vous que le produit interne dans cet espace vectoriel est le produit scalaire. De plus, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0 si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre.)
Considérez l'ensemble S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, qui est un sous-ensemble des vecteurs de position tridimensionnels. Observez que (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Donc, l'ensemble S est orthogonal. En particulier, deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est 0. Par conséquent, chaque paire de vecteurs dans Sis est orthogonale.
Qu'est-ce que l'orthonorme ?
Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit scalaire V est dit orthonormé si et seulement si S est orthogonal et pour chaque vecteur u dans S, [u, u]=1. Par conséquent, on peut voir que tout ensemble orthonormé est orthogonal mais pas l'inverse.
Par exemple, dans l'ensemble de tous les vecteurs de position tridimensionnels, cela revient à dire que, pour chaque paire distincte de vecteurs de position p et q dans S, p et q sont perpendiculaires l'un à l'autre, et pour chaque p dans S, |p|=1. C'est parce que la condition [p, p]=1 se réduit à p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, ce qui équivaut à |p |=1. Par conséquent, étant donné un ensemble orthogonal, nous pouvons toujours former un ensemble orthonormé correspondant en divisant chaque vecteur par sa magnitude.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} est un sous-ensemble orthonormé de l'ensemble de tous les vecteurs de position tridimensionnels. Il est facile de voir qu'il a été obtenu en divisant chacun des vecteurs de l'ensemble S, par leurs grandeurs.
Quelle est la différence entre orthogonal et orthonormé ?
- Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit scalaire V est dit orthogonal, si et seulement si pour chaque u, v distinct dans S, [u, v]=0. Cependant, il est orthonormé, si et seulement si une condition supplémentaire – pour chaque vecteur u dans S, [u, u]=1 est satisfaite.
- Tout ensemble orthonormé est orthogonal mais pas l'inverse.
- Tout ensemble orthogonal correspond à un ensemble orthogonal unique mais un ensemble orthonormé peut correspondre à plusieurs ensembles orthogonaux.
