Différence entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 13:38

L'intégrale de Riemann contre l'intégrale de Lebesgue

L'intégration est un sujet majeur en calcul. Dans un sens plus large, l'intégration peut être considérée comme le processus inverse de différenciation. Lors de la modélisation de problèmes du monde réel, il est facile d'écrire des expressions impliquant des dérivées. Dans une telle situation, l'opération d'intégration est nécessaire pour trouver la fonction qui a donné la dérivée particulière.

Sous un autre angle, l'intégration est un processus qui résume le produit d'une fonction ƒ(x) et δx, où δx tend à être une certaine limite. C'est pourquoi, nous utilisons le symbole d'intégration comme ∫. Le symbole ∫ est en fait ce que nous obtenons en étirant la lettre s pour désigner la somme.

L'intégrale de Riemann

Considérons une fonction y=ƒ(x). L'intégrale de y entre a et b, où a et b appartiennent à un ensemble x, s'écrit _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{une → b} =F (b) – F (a). C'est ce qu'on appelle une intégrale définie de la fonction à valeur unique et continue y=ƒ(x) entre a et b. Cela donne l'aire sous la courbe entre a et b. On l'appelle aussi intégrale de Riemann. L'intégrale de Riemann a été créée par Bernhard Riemann. L'intégrale de Riemann d'une fonction continue est basée sur la mesure de Jordan, par conséquent, elle est également définie comme la limite des sommes de Riemann de la fonction. Pour une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle fermé, l'intégrale de Riemann de la fonction par rapport à une partition x₁, x₂, …, x n _{défini sur l'intervalle [a, b] et t}1_{, t}2_{, …, t n}, où x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 pour chaque i ε {1, 2, …, n}, la somme de Riemann est définie comme Σ_{i=o to n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Intégrale

Lebesgue est un autre type d'intégrale, qui couvre une grande variété de cas que l'intégrale de Riemann. L'intégrale de Lebesgue a été introduite par Henri Lebesgue en 1902. L'intégration de Lebesgue peut être considérée comme une généralisation de l'intégration de Riemann.

Pourquoi devons-nous étudier une autre intégrale ?

Considérons la fonction caractéristique ƒ_{A (x)=}{_{0 si, x non ε A}^{1 si, x ε A} sur un ensemble A. Alors combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques, qui est définie par F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) est appelée la fonction simple si E} i _{est mesurable pour chaque i. L'intégrale de Lebesgue de F (x) sur E est notée} E_{∫ ƒ(x)dx. La fonction F (x) n'est pas intégrable de Riemann. Par conséquent, l'intégrale de Lebesgue est une reformulation de l'intégrale de Riemann, qui comporte certaines restrictions sur les fonctions à intégrer.}

Quelle est la différence entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue ?

· L'intégrale de Lebesgue est une forme de généralisation de l'intégrale de Riemann.

· L'intégrale de Lebesgue permet une infinité dénombrable de discontinuités, tandis que l'intégrale de Riemann permet un nombre fini de discontinuités.