Dérivée vs Intégrale
Différenciation et intégration sont deux opérations fondamentales en calcul. Ils ont de nombreuses applications dans plusieurs domaines, tels que les mathématiques, l'ingénierie et la physique. La dérivée et l'intégrale discutent du comportement d'une fonction ou du comportement d'une entité physique qui nous intéresse.
Qu'est-ce que la dérivée ?
Supposons y=ƒ(x) et x0 est dans le domaine de ƒ. Alors limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx est appelé le taux de changement instantané de ƒ à x0, pourvu que cette limite existe de manière finie. Cette limite est aussi appelée la dérivée de at et est notée ƒ(x).
La valeur de la dérivée d'une fonction f en un point arbitraire x dans le domaine de la fonction est donnée par limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Ceci est indiqué par l'une des expressions suivantes: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Pour les fonctions à plusieurs variables, on définit la dérivée partielle. La dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ces variables, en supposant que les autres variables sont des constantes. Le symbole de la dérivée partielle est ∂.
Géométriquement la dérivée d'une fonction peut être interprétée comme la pente de la courbe de la fonction ƒ(x).
Qu'est-ce que l'intégrale ?
L'intégration ou l'anti-différenciation est le processus inverse de la différenciation. En d'autres termes, c'est le processus de recherche d'une fonction originale lorsque la dérivée de la fonction est donnée. Par conséquent, une intégrale ou une anti-dérivée d'une fonction ƒ(x) si, ƒ(x)=F (x) peut être définie comme la fonction F (x), pour tout x dans le domaine de ƒ(x).
L'expression ∫ƒ(x) dx dénote la dérivée de la fonction ƒ(x). Si ƒ(x)=F (x), alors ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, où C est une constante, ∫ƒ(x) dx est appelé l'intégrale indéfinie de ƒ(x).
Pour toute fonction ƒ, qui n'est pas nécessairement non négative, et définie sur l'intervalle [a, b], a∫b ƒ(x) dx est appelé l'intégrale définie ƒ sur [a, b].
L'intégrale définie a∫bƒ(x) dx d'une fonction ƒ(x) peut être interprétée géométriquement comme l'aire de la région délimitée par la courbe ƒ(x), l'axe des x et les droites x=a et x=b.
Quelle est la différence entre Dérivée et Intégrale ?
• La dérivée est le résultat de la différenciation du processus, tandis que l'intégrale est le résultat de l'intégration du processus.
• La dérivée d'une fonction représente la pente de la courbe en un point donné, tandis que l'intégrale représente l'aire sous la courbe.
