Dérivée vs différentiel
Dans le calcul différentiel, la dérivée et la différentielle d'une fonction sont étroitement liées mais ont des significations très différentes, et sont utilisées pour représenter deux objets mathématiques importants liés aux fonctions différentiables.
Qu'est-ce que la dérivée ?
La dérivée d'une fonction mesure la vitesse à laquelle la valeur de la fonction change lorsque son entrée change. Dans les fonctions à plusieurs variables, le changement de la valeur de la fonction dépend du sens du changement des valeurs des variables indépendantes. Par conséquent, dans de tels cas, une direction spécifique est choisie et la fonction est différenciée dans cette direction particulière. Cette dérivée est appelée dérivée directionnelle. Les dérivées partielles sont un type particulier de dérivées directionnelles.
La dérivée d'une fonction vectorielle f peut être définie comme la limite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] partout où il existe de manière finie. Comme mentionné précédemment, cela nous donne le taux d'augmentation de la fonction f le long de la direction du vecteur u. Dans le cas d'une fonction à valeur unique, cela se réduit à la définition bien connue de la dérivée, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Par exemple, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] est différentiable partout, et la dérivée est égale à la limite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], qui est égal à [latex]3x^{2}+4[/latex]. Les dérivées de fonctions telles que [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existent partout. Elles sont respectivement égales aux fonctions [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
C'est ce qu'on appelle la première dérivée. Habituellement, la première dérivée de la fonction f est notée f (1) Maintenant, en utilisant cette notation, il est possible de définir des dérivées d'ordre supérieur. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] est la dérivée directionnelle du second ordre, et dénotant la n ième dérivée par f (n) pour chaque n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], définit la n th dérivée.
Qu'est-ce que le différentiel ?
Différentiel d'une fonction représente le changement dans la fonction par rapport aux changements dans la ou les variables indépendantes. Dans la notation habituelle, pour une fonction donnée f d'une seule variable x, la différentielle totale d'ordre 1 df est donnée par, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Cela signifie que pour un changement infinitésimal de x (c'est-à-dire d x), il y aura un f (1)(x)d x changement de f.
En utilisant les limites, on peut se retrouver avec cette définition comme suit. Supposons que ∆ x est le changement de x à un point arbitraire x et ∆ f est le changement correspondant dans la fonction f. On peut montrer que ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, où ϵ est l'erreur. Maintenant, la limite ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (en utilisant la définition de dérivée précédemment énoncée) et donc, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Par conséquent, il est possible de conclure que, ∆ x→ 0 ϵ=0. Maintenant, en notant ∆ x→ 0 ∆ f comme d f et ∆ x→ 0 ∆ x comme d x la définition de la différentielle est rigoureusement obtenue.
Par exemple, le différentiel de la fonction [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] est [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
Dans le cas des fonctions de deux variables ou plus, le différentiel total d'une fonction est défini comme la somme des différentiels dans les directions de chacune des variables indépendantes. Mathématiquement, il peut être énoncé comme [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Quelle est la différence entre dérivée et différentielle ?
• La dérivée fait référence au taux de variation d'une fonction, tandis que la différentielle fait référence au changement réel de la fonction, lorsque la variable indépendante est soumise à un changement.
• La dérivée est donnée par [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], mais la différentielle est donnée par [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
