Équation différentielle vs équation différentielle
Un phénomène naturel peut être décrit mathématiquement par des fonctions d'un certain nombre de variables et de paramètres indépendants. Surtout quand ils sont exprimés par une fonction de la position spatiale et du temps, il en résulte des équations. La fonction peut changer avec le changement des variables indépendantes ou des paramètres. Un changement infinitésimal se produisant dans la fonction lorsque l'une de ses variables est modifiée est appelé la dérivée de cette fonction.
Une équation différentielle est toute équation qui contient les dérivées d'une fonction ainsi que la fonction elle-même. Une équation différentielle simple est celle de la deuxième loi du mouvement de Newton. Si un objet de masse m se déplace avec une accélération « a » et subit une force F, la deuxième loi de Newton nous dit que F=ma. Là encore, « a » varie avec le temps, nous pouvons réécrire « a » comme; a=dv/dt; v est la vitesse. La vitesse est fonction de l'espace et du temps, c'est-à-dire v=ds/dt; donc ‘a’=d2s/dt2
En gardant cela à l'esprit, nous pouvons réécrire la deuxième loi de Newton sous la forme d'une équation différentielle;
‘F’ en fonction de v et t – F(v, t)=mdv/dt, ou
'F' en fonction de s et t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Il existe deux types d'équations différentielles; équation différentielle ordinaire, abrégée par ODE ou équation différentielle partielle, abrégée par PDE. L'équation différentielle ordinaire contiendra des dérivées ordinaires (dérivées d'une seule variable). L'équation aux dérivées partielles contiendra des dérivées différentielles (dérivées de plus d'une variable).
par ex. F=m d2s/dt2 est un ODE, alors que α2 d 2u/dx2=du/dt est une PDE, elle a des dérivées de t et x.
L'équation aux différences est la même que l'équation différentielle, mais nous l'examinons dans un contexte différent. Dans les équations différentielles, la variable indépendante telle que le temps est considérée dans le contexte du système de temps continu. Dans le système à temps discret, nous appelons la fonction comme équation de différence.
L'équation des différences est une fonction des différences. Les différences dans les variables indépendantes sont de trois types; séquence de nombres, système dynamique discret et fonction itérée.
Dans une séquence de nombres, le changement est généré de manière récursive en utilisant une règle pour relier chaque numéro de la séquence aux numéros précédents de la séquence.
L'équation aux différences dans un système dynamique discret prend un signal d'entrée discret et produit un signal de sortie.
L'équation de différence est une carte itérée pour une fonction itérée. Par exemple, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….est la séquence d'une fonction itérée. Le f(y0) est le premier itéré de y0 Le k-ième itéré sera noté fk (y0).
