Différenciation vs Dérivée
Dans le calcul différentiel, la dérivée et la différenciation sont étroitement liées, mais très différentes, et utilisées pour représenter deux concepts mathématiques importants liés aux fonctions.
Qu'est-ce que la dérivée ?
La dérivée d'une fonction mesure la vitesse à laquelle la valeur de la fonction change lorsque son entrée change. Dans les fonctions à plusieurs variables, le changement de la valeur de la fonction dépend du sens du changement des valeurs des variables indépendantes. Par conséquent, dans de tels cas, une direction spécifique est choisie et la fonction est différenciée dans cette direction particulière. Cette dérivée est appelée dérivée directionnelle. Les dérivées partielles sont un type particulier de dérivées directionnelles.
La dérivée d'une fonction vectorielle f peut être définie comme la limite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] partout où il existe de manière finie. Comme mentionné précédemment, cela nous donne le taux d'augmentation de la fonction f le long de la direction du vecteur u. Dans le cas d'une fonction à valeur unique, cela se réduit à la définition bien connue de la dérivée, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Par exemple, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] est différentiable partout, et la dérivée est égale à la limite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], qui est égal à [latex]3x^{2}+4[/latex]. Les dérivées de fonctions telles que [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existent partout. Elles sont respectivement égales aux fonctions [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
C'est ce qu'on appelle la première dérivée. Habituellement, la première dérivée de la fonction f est notée f (1) Maintenant, en utilisant cette notation, il est possible de définir des dérivées d'ordre supérieur. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] est la dérivée directionnelle du second ordre, et dénotant la n ième dérivée par f (n) pour chaque n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], définit la n th dérivée.
Qu'est-ce que la différenciation ?
La différenciation est le processus de recherche de la dérivée d'une fonction différentiable. L'opérateur D désigné par D représente la différenciation dans certains contextes. Si x est la variable indépendante, alors D ≡ d/dx. L'opérateur D est un opérateur linéaire, c'est-à-dire pour deux fonctions différentiables f et g et constante c, les propriétés suivantes sont respectées.
Je. ré (f + g)=ré (f) + ré(g)
II. D (cf)=cD (f)
En utilisant l'opérateur D, les autres règles associées à la différenciation peuvent être exprimées comme suit. ré (f g)=ré (f) g + f ré (g), ré (f/ g)=[ré (f) g – f D (g)]/ g 2 and D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Par exemple, lorsque F(x)=x 2sin x est différentié par rapport à x en utilisant les règles données, la réponse sera 2 x sin x + x2cos x.
Quelle est la différence entre différenciation et dérivée ?• La dérivée fait référence au taux de variation d'une fonction • La différenciation est le processus de recherche de la dérivée d'une fonction. |
