Événements mutuellement exclusifs vs indépendants
Les gens confondent souvent le concept d'événements mutuellement exclusifs avec des événements indépendants. En fait, ce sont deux choses différentes.
Soit A et B deux événements quelconques associés à une expérience aléatoire E. P(A) est appelée la « probabilité de A ». De même, nous pouvons définir la probabilité de B comme P(B), la probabilité de A ou B comme P(A∪B) et la probabilité de A et B comme P(A∩B). Alors, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Cependant, deux événements sont dits mutuellement exclusifs si l'occurrence d'un événement n'affecte pas l'autre. En d'autres termes, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par conséquent, si deux événements A et B sont mutuellement exclusifs, alors A∩B=∅ et donc, cela implique P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Soit A et B deux événements dans un espace échantillon S. La probabilité conditionnelle de A, étant donné que B s'est produit, est notée P(A | B) et est définie comme; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), à condition que P(B)>0. (sinon, il n'est pas défini.)
Un événement A est dit indépendant d'un événement B, si la probabilité que A se produise n'est pas influencée par le fait que B se soit produit ou non. En d'autres termes, le résultat de l'événement B n'a aucun effet sur le résultat de l'événement A. Par conséquent, P(A | B)=P(A). De même, B est indépendant de A si P(B)=P(B | A). Par conséquent, nous pouvons conclure que si A et B sont des événements indépendants, alors P(A∩B)=P(A). P(B)
Supposons qu'un cube numéroté est lancé et qu'une pièce équitable est lancée. Soit A l'événement obtenant un face et B l'événement obtenant un nombre pair. Nous pouvons alors conclure que les événements A et B sont indépendants, car le résultat de l'un n'affecte pas le résultat de l'autre. Donc, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Puisque P(A∩B)≠0, A et B ne peuvent pas être mutuellement exclusifs.
Supposons qu'une urne contient 7 billes blanches et 8 billes noires. Définissez l'événement A comme dessinant une bille blanche et l'événement B comme dessinant une bille noire. En supposant que chaque bille sera remplacée après avoir noté sa couleur, alors P(A) et P(B) seront toujours les mêmes, peu importe le nombre de fois que nous tirerons de l'urne. Remplacer les billes signifie que les probabilités ne changent pas d'un tirage à l'autre, quelle que soit la couleur que nous avons choisie lors du dernier tirage. Par conséquent, les événements A et B sont indépendants.
Cependant, si des billes ont été tirées sans remise, alors tout change. Sous cette hypothèse, les événements A et B ne sont pas indépendants. Tirer une bille blanche la première fois modifie les probabilités de tirer une bille noire au second tirage et ainsi de suite. En d'autres termes, chaque tirage a un effet sur le tirage suivant, et donc les tirages individuels ne sont pas indépendants.
Différence entre les événements mutuellement exclusifs et indépendants
– L'exclusivité mutuelle des événements signifie qu'il n'y a pas de chevauchement entre les ensembles A et B. L'indépendance des événements signifie que l'événement de A n'affecte pas l'événement de B.
– Si deux événements A et B s'excluent mutuellement, alors P(A∩B)=0.
– Si deux événements A et B sont indépendants, alors P(A∩B)=P(A). P(B)
