Séries arithmétiques vs géométriques
La définition mathématique d'une série est étroitement liée aux séquences. Une séquence est un ensemble ordonné de nombres et peut être un ensemble fini ou infini. Une séquence de nombres dont la différence entre deux éléments est une constante est connue sous le nom de progression arithmétique. Une séquence avec un quotient constant de deux nombres successifs est appelée une progression géométrique. Ces progressions peuvent être finies ou infinies, et si elles sont finies, le nombre de termes est dénombrable, sinon indénombrable.
Généralement, la somme des éléments d'une progression peut être définie comme une série. La somme d'une progression arithmétique est connue sous le nom de série arithmétique. De même, la somme d'une progression géométrique est connue sous le nom de série géométrique.
En savoir plus sur les séries arithmétiques
Dans une suite arithmétique, les termes successifs ont une différence constante.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; où a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, et ainsi de suite.
Cette différence d est connue sous le nom de différence commune, et le nème terme est donné par an =a 1+ (n-1)d; où a1 est le premier terme.
Le comportement de la série change en fonction de la différence commune d. Si la différence commune est positive, la progression tend vers l'infini positif, et si la différence commune est négative, elle tend vers l'infini négatif.
La somme de la série peut être obtenue par la formule simple suivante, qui a d'abord été développée par l'astronome et mathématicien indien Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
La somme Sn peut être finie ou infinie, en fonction du nombre de termes.
En savoir plus sur la série géométrique
Une série géométrique est une série dont le quotient des nombres successifs est constant. C'est une série importante trouvée dans l'étude de la série, en raison des propriétés qu'elle possède.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Basé sur le rapport r, le comportement de la série peut être classé comme suit. r={|r|≥1 série diverge; r≤1 série converge}. De plus, si r<0 la série oscille, c'est-à-dire que la série a des valeurs alternées.
La somme des séries géométriques peut être calculée à l'aide de la formule suivante. Sn =un(1-r) / (1-r); où a est le terme initial et r est le rapport. Si le rapport r≤1, la série converge. Pour une série infinie, la valeur de la convergence est donnée par Sn=a / (1-r).
Les séries géométriques ont de nombreuses applications dans les domaines des sciences physiques, de l'ingénierie et de l'économie
Quelle est la différence entre les séries arithmétiques et géométriques ?
• Une série arithmétique est une série avec une différence constante entre deux termes adjacents.
• Une suite géométrique est une suite à quotient constant entre deux termes successifs.
• Toutes les séries arithmétiques infinies sont toujours divergentes, mais selon le rapport, les séries géométriques peuvent être soit convergentes, soit divergentes.
• La série géométrique peut avoir une oscillation dans les valeurs; c'est-à-dire que les nombres changent de signe alternativement, mais la série arithmétique ne peut pas avoir d'oscillations.
