Intégrales définies vs indéfinies
Le calcul est une branche importante des mathématiques, et la différenciation joue un rôle essentiel dans le calcul. Le processus inverse de la différenciation est connu sous le nom d'intégration, et l'inverse est connu sous le nom d'intégrale, ou simplement, l'inverse de la différenciation donne une intégrale. Sur la base des résultats qu'ils produisent, les intégrales sont divisées en deux classes; intégrales définies et indéfinies.
En savoir plus sur les intégrales indéfinies
L'intégrale indéfinie est plus une forme générale d'intégration, et elle peut être interprétée comme l'anti-dérivée de la fonction considérée. Supposons que la différenciation de F donne f et que l'intégration de f donne l'intégrale. Il est souvent écrit comme F(x)=∫ƒ(x)dx ou F=∫ƒ dx où F et ƒ sont des fonctions de x, et F est différentiable. Dans la forme ci-dessus, on l'appelle une intégrale de Reimann et la fonction résultante accompagne une constante arbitraire. Une intégrale indéfinie produit souvent une famille de fonctions; par conséquent, l'intégrale est indéfinie.
Les intégrales et le processus d'intégration sont au cœur de la résolution d'équations différentielles. Cependant, contrairement à la différenciation, l'intégration ne suit pas toujours une routine claire et standard; parfois, la solution ne peut pas être exprimée explicitement en termes de fonction élémentaire. Dans ce cas, la solution analytique est souvent donnée sous la forme d'une intégrale indéfinie.
En savoir plus sur les intégrales définies
Les intégrales définies sont les contreparties les plus appréciées des intégrales indéfinies où le processus d'intégration produit en fait un nombre fini. Il peut être défini graphiquement comme la zone délimitée par la courbe de la fonction ƒ dans un intervalle donné. Chaque fois que l'intégration est effectuée dans un intervalle donné de la variable indépendante, l'intégration produit une valeur définie qui est souvent écrite comme a∫bƒ(x) dx ou a∫b ƒdx.
Les intégrales indéfinies et les intégrales définies sont interconnectées par le premier théorème fondamental du calcul, et cela permet de calculer l'intégrale définie à l'aide des intégrales indéfinies. Le théorème indique a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) où F et ƒ sont des fonctions de x, et F est dérivable dans l'intervalle (a, b). Compte tenu de l'intervalle, a et b sont respectivement connus comme la limite inférieure et la limite supérieure.
Plutôt que de s'arrêter aux fonctions réelles uniquement, l'intégration peut être étendue à des fonctions complexes et ces intégrales sont appelées intégrales de contour, où ƒ est une fonction de la variable complexe.
Quelle est la différence entre les intégrales définies et indéfinies ?
Les intégrales indéfinies représentent l'anti-dérivée d'une fonction, et souvent, une famille de fonctions plutôt qu'une solution définie. Dans les intégrales définies, l'intégration donne un nombre fini.
Les intégrales indéfinies associent une variable arbitraire (d'où la famille des fonctions) et les intégrales définies n'ont pas de constante arbitraire, mais une borne supérieure et une borne inférieure d'intégration.
L'intégrale indéfinie donne généralement une solution générale à l'équation différentielle.
