Distribution binomiale vs distribution normale
Les distributions de probabilité de variables aléatoires jouent un rôle important dans le domaine des statistiques. Parmi ces distributions de probabilité, la distribution binomiale et la distribution normale sont deux des distributions les plus courantes dans la vie réelle.
Qu'est-ce que la distribution binomiale ?
La distribution binomiale est la distribution de probabilité correspondant à la variable aléatoire X, qui est le nombre de succès d'une séquence finie d'expériences indépendantes oui/non dont chacune a une probabilité de succès p. D'après la définition de X, il est évident qu'il s'agit d'une variable aléatoire discrète; par conséquent, la distribution binomiale est également discrète.
La distribution est notée X ~ B (n, p) où n est le nombre d'expériences et p est la probabilité de succès. Selon la théorie des probabilités, on peut en déduire que B (n, p) suit la fonction de masse de probabilité [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. De cette équation, on peut en outre déduire que la valeur attendue de X, E(X)=np et la variance de X, V(X)=np (1- p).
Par exemple, considérez une expérience aléatoire consistant à lancer une pièce 3 fois. Définissez le succès comme l'obtention de H, l'échec comme l'obtention de T et la variable aléatoire X comme le nombre de succès dans l'expérience. Alors X ~ B (3, 0,5) et la fonction de masse de probabilité de X donnée par [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins 2 H est P(X ≥ 2)=P (X=2 ou X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
Qu'est-ce qu'une distribution normale ?
La distribution normale est la distribution de probabilité continue définie par la fonction de densité de probabilité, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Les paramètres [latex] \mu et \\sigma [/latex] désignent la moyenne et l'écart type de la population d'intérêt. Lorsque [latex] \mu=0 et \\sigma=1 [/latex] la distribution est appelée distribution normale standard.
Cette distribution est dite normale puisque la plupart des phénomènes naturels suivent la distribution normale. Par exemple, le QI de la population humaine est normalement distribué. Comme on le voit sur le graphique, il est unimodal, symétrique par rapport à la moyenne et en forme de cloche. La moyenne, le mode et la médiane coïncident. L'aire sous la courbe correspond à la portion de la population, satisfaisant une condition donnée.
Les portions de population dans l'intervalle [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] sont d'environ 68,2 %, 95,6 % et 99,8 % respectivement.
Quelle est la différence entre les distributions binomiales et normales ?
- La distribution binomiale est une distribution de probabilité discrète alors que la distribution normale est une distribution continue.
- La fonction de masse de probabilité de la distribution binomiale est [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], alors que la fonction de densité de probabilité de la distribution normale est [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- La distribution binomiale est approchée avec une distribution normale sous certaines conditions, mais pas l'inverse.
