Sous-ensemble vs Super-ensemble
En mathématiques, la notion d'ensemble est fondamentale. L'étude moderne de la théorie des ensembles a été formalisée à la fin des années 1800. La théorie des ensembles est un langage fondamental des mathématiques et le référentiel des principes de base des mathématiques modernes. D'autre part, c'est une branche des mathématiques à part entière, qui est classée comme une branche de la logique mathématique dans les mathématiques modernes.
Un ensemble est une collection bien définie d'objets. Bien défini signifie qu'il existe un mécanisme par lequel on est capable de déterminer si un objet donné appartient à un ensemble particulier ou non. Les objets qui appartiennent à un ensemble sont appelés éléments ou membres de l'ensemble. Les ensembles sont généralement désignés par des lettres majuscules et des lettres minuscules sont utilisées pour représenter les éléments.
Un ensemble A est dit être un sous-ensemble d'un ensemble B; si et seulement si, tout élément de l'ensemble A est aussi un élément de l'ensemble B. Une telle relation entre ensembles est notée A ⊆ B. Elle peut également être lue comme « A est contenu dans B ». L'ensemble A est dit être un sous-ensemble propre si A ⊆ B et A ≠B, et noté A ⊂ B. S'il y a même un membre dans A qui n'est pas membre de B, alors A ne peut pas être un sous-ensemble de B. Un ensemble vide est un sous-ensemble de n'importe quel ensemble, et un ensemble lui-même est un sous-ensemble du même ensemble.
Si A est un sous-ensemble de B, alors A est contenu dans B. Cela implique que B contient A, ou en d'autres termes, B est un sur-ensemble de A. On écrit A ⊇ B pour indiquer que B est un sur-ensemble de A.
Pour un exemple, A={1, 3} est un sous-ensemble de B={1, 2, 3}, puisque tous les éléments de A contenus dans B. B est un sur-ensemble de A, car B contient A. Soit A={1, 2, 3} et B={3, 4, 5}. Alors A∩B={3}. Par conséquent, A et B sont des sur-ensembles de A∩B. L'ensemble A∪B, est un sur-ensemble de A et B, car A∪B, contient tous les éléments de A et B.
Si A est un sur-ensemble de B et B est un sur-ensemble de C, alors A est un sur-ensemble de C. Tout ensemble A est un sur-ensemble d'un ensemble vide et tout ensemble lui-même est un sur-ensemble de cet ensemble.
‘A est un sous-ensemble de B’ est également lu comme ‘A est contenu dans B’, noté A ⊆ B.
‘B est un sur-ensemble de A’ se lit aussi comme ‘B est contenu dans A’, noté A ⊇ B.
