Différence entre la séquence arithmétique et la séquence géométrique

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-17 23:32

Séquence arithmétique vs séquence géométrique

L'étude des modèles de nombres et de leur comportement est une étude importante dans le domaine des mathématiques. Souvent, ces modèles peuvent être observés dans la nature et nous aident à expliquer leur comportement d'un point de vue scientifique. Les séquences arithmétiques et les séquences géométriques sont deux des modèles de base qui se produisent dans les nombres et que l'on trouve souvent dans les phénomènes naturels.

La séquence est un ensemble de nombres ordonnés. Le nombre d'éléments dans la séquence peut être fini ou infini.

En savoir plus sur la séquence arithmétique (progression arithmétique)

Une suite arithmétique est définie comme une suite de nombres avec une différence constante entre chaque terme consécutif. Elle est également connue sous le nom de progression arithmétique.

Séquence arithmétique ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, un_n; où a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, et ainsi de suite.}

Si le terme initial est a₁ et la différence commune est d, alors le n^{ième terme de la suite est donné par;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

En poussant plus loin le résultat ci-dessus, le n^{th terme peut aussi être donné comme;}

a_n =a_m + (n-m)d, où a_{m est un terme aléatoire dans la séquence telle que n > m.}

L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs sont les exemples les plus simples de suites arithmétiques, où chaque suite a une différence commune (d) de 2.

Le nombre de termes dans une séquence peut être infini ou fini. Dans le cas infini (n → ∞), la suite tend vers l'infini en fonction de la différence commune (a_{n → ±∞). Si la différence commune est positive (d > 0), la suite tend vers l'infini positif et, si la différence commune est négative (d < 0), elle tend vers l'infini négatif. Si les termes sont finis, la suite est également finie.}

La somme des termes de la suite arithmétique est connue sous le nom de série arithmétique: S_n=a₁ + a ₂ + un₃ + un₄ + ⋯ + un_n =∑ i=1→n _ai; _{et S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] donne la valeur de série (S}n)

En savoir plus sur la séquence géométrique (progression géométrique)

Une suite géométrique est définie comme une suite dans laquelle le quotient de deux termes consécutifs est une constante. Ceci est également connu sous le nom de progression géométrique.

Séquence géométrique ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, un_n; où a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, et ainsi de suite, où r est un nombre réel.}

Il est plus facile de représenter la suite géométrique en utilisant le rapport commun (r) et le terme initial (a). D'où la suite géométrique ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, un}1_r3^{, …, un}1_rn-1.

La forme générale des n^ème termes donnés par a_n =a₁r ^n-1. (Perdre l'indice du terme initial ⇒ a_n =ar^n-1)

La suite géométrique peut aussi être finie ou infinie. Si le nombre de termes est fini, la suite est dite finie. Et si les termes sont infinis, la suite peut être infinie ou finie selon le rapport r. Le rapport commun affecte de nombreuses propriétés dans les séquences géométriques.

r > o	0 < r < +1	La séquence converge - décroissance exponentielle, c'est-à-dire an → 0, n → ∞
	r=1	Séquence constante, c'est-à-dire an=constante
	r > 1	La séquence diverge - croissance exponentielle, c'est-à-dire an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	La séquence oscille, mais converge
	r=1	La séquence est alternée et constante, c'est-à-dire an=±constant
	r < -1	La séquence est alternée et divergente. c'est-à-dire an → ±∞, n → ∞
r=0	La séquence est une chaîne de zéros

N. B: Dans tous les cas ci-dessus, a₁ > 0; si a₁ < 0, les signes liés à a_{n seront inversés.}

L'intervalle de temps entre les rebonds d'une balle suit une séquence géométrique dans le modèle idéal, et c'est une séquence convergente.

La somme des termes de la suite géométrique est connue sous le nom de série géométrique; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. La somme des séries géométriques peut être calculée à l'aide de la formule suivante.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); où a est le terme initial et r est le rapport.}

Si le rapport, r ≤ 1, la série converge. Pour une série infinie, la valeur de la convergence est donnée par S_n=a/(1-r)

Quelle est la différence entre une séquence/progression arithmétique et géométrique ?

• Dans une séquence arithmétique, deux termes consécutifs ont une différence commune (d) tandis que, dans une séquence géométrique, deux termes consécutifs ont un quotient constant (r).

• Dans une suite arithmétique, la variation des termes est linéaire, c'est-à-dire qu'on peut tracer une droite passant par tous les points. Dans une suite géométrique, la variation est exponentielle; en croissance ou en décomposition en fonction du rapport commun.

• Toutes les suites arithmétiques infinies sont divergentes, alors que les séries géométriques infinies peuvent être divergentes ou convergentes.

• La série géométrique peut afficher une oscillation si le rapport r est négatif alors que la série arithmétique n'affiche pas d'oscillation