Fonction de distribution de probabilité vs fonction de densité de probabilité
La probabilité est la probabilité qu'un événement se produise. Cette idée est très courante et fréquemment utilisée dans la vie de tous les jours lorsque nous évaluons nos opportunités, nos transactions et bien d'autres choses. Étendre ce concept simple à un ensemble plus large d'événements est un peu plus difficile. Par exemple, nous ne pouvons pas facilement déterminer les chances de gagner à la loterie, mais il est pratique, plutôt intuitif, de dire qu'il y a une probabilité sur six que nous obtiendrons le numéro six dans un lancer de dés.
Lorsque le nombre d'événements qui peuvent avoir lieu devient plus grand, ou le nombre de possibilités individuelles est grand, cette idée plutôt simple de probabilité échoue. Par conséquent, il faut lui donner une définition mathématique solide avant d'aborder des problèmes plus complexes.
Lorsque le nombre d'événements qui peuvent avoir lieu dans une même situation est grand, il est impossible de considérer chaque événement individuellement comme dans l'exemple des dés lancés. Par conséquent, l'ensemble des événements est résumé en introduisant le concept de variable aléatoire. C'est une variable qui peut prendre les valeurs de différents événements dans cette situation particulière (ou dans l'espace échantillon). Il donne un sens mathématique à des événements simples dans la situation et une manière mathématique d'aborder l'événement. Plus précisément, une variable aléatoire est une fonction de valeur réelle sur les éléments de l'espace échantillon. Les variables aléatoires peuvent être discrètes ou continues. Ils sont généralement désignés par les lettres majuscules de l'alphabet anglais.
La fonction de distribution de probabilité (ou simplement, la distribution de probabilité) est une fonction qui attribue les valeurs de probabilité pour chaque événement; c'est-à-dire qu'il fournit une relation avec les probabilités pour les valeurs que la variable aléatoire peut prendre. La fonction de distribution de probabilité est définie pour des variables aléatoires discrètes.
La fonction de densité de probabilité est l'équivalent de la fonction de distribution de probabilité pour les variables aléatoires continues, donne la probabilité qu'une certaine variable aléatoire prenne une certaine valeur.
Si X est une variable aléatoire discrète, la fonction donnée par f (x)=P (X=x) pour chaque x dans la plage de X est appelée la fonction de distribution de probabilité. Une fonction peut servir de fonction de distribution de probabilité si et seulement si la fonction satisfait les conditions suivantes.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Une fonction f (x) qui est définie sur l'ensemble des nombres réels est appelée la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire continue X, si et seulement si, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx pour toutes constantes réelles a et b.
La fonction de densité de probabilité doit également satisfaire aux conditions suivantes.
1. f (x) ≥ 0 pour tout x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
La fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité sont utilisées pour représenter la distribution des probabilités sur l'espace échantillon. Généralement, on les appelle des distributions de probabilité.
Pour la modélisation statistique, des fonctions de densité de probabilité standard et des fonctions de distribution de probabilité sont dérivées. La distribution normale et la distribution normale standard sont des exemples de distributions de probabilité continues. La distribution binomiale et la distribution de Poisson sont des exemples de distributions de probabilités discrètes.
Quelle est la différence entre la distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité ?
• La fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité sont des fonctions définies sur l'espace échantillon, pour attribuer la valeur de probabilité pertinente à chaque élément.
• Les fonctions de distribution de probabilité sont définies pour les variables aléatoires discrètes tandis que les fonctions de densité de probabilité sont définies pour les variables aléatoires continues.
• La distribution des valeurs de probabilité (c'est-à-dire les distributions de probabilité) est mieux représentée par la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution de probabilité.
• La fonction de distribution de probabilité peut être représentée sous forme de valeurs dans un tableau, mais ce n'est pas possible pour la fonction de densité de probabilité car la variable est continue.
• Lorsqu'elle est tracée, la fonction de distribution de probabilité donne un diagramme à barres tandis que la fonction de densité de probabilité donne une courbe.
• La hauteur/longueur des barres de la fonction de distribution de probabilité doit être égale à 1, tandis que l'aire sous la courbe de la fonction de densité de probabilité doit être égale à 1.
• Dans les deux cas, toutes les valeurs de la fonction doivent être non négatives.
