Hyperbole contre Ellipse
Lorsqu'un cône est coupé à différents angles, différentes courbes sont marquées par le bord du cône. Ces courbes sont souvent appelées sections coniques. Plus précisément, une conique est une courbe obtenue en coupant une surface conique circulaire droite avec une surface plane. À différents angles d'intersection, différentes sections coniques sont données.
L'hyperbole et l'ellipse sont des sections coniques, et leurs différences sont facilement comparables dans ce contexte.
En savoir plus sur Ellipse
Lorsque l'intersection de la surface conique et de la surface plane produit une courbe fermée, on parle d'ellipse. Il a une excentricité entre zéro et un (0<e<1). Il peut également être défini comme le lieu de l'ensemble des points sur un plan tel que la somme des distances au point à partir de deux points fixes reste constante. Ces deux points fixes sont appelés les « foyers ». (Rappelez-vous; dans les cours de mathématiques élémentaires, les ellipses sont dessinées à l'aide d'une ficelle attachée à deux épingles fixes, ou d'une boucle de ficelle et de deux épingles.)
Le segment de droite passant par les foyers est appelé grand axe, et l'axe perpendiculaire au grand axe et passant par le centre de l'ellipse est appelé petit axe. Les diamètres le long de chaque axe sont appelés respectivement diamètre transversal et diamètre conjugué. La moitié du grand axe est connue sous le nom de demi-grand axe et la moitié du petit axe est connue sous le nom de demi-petit axe.
Chaque point F1 et F2 sont connus comme les foyers de l'ellipse et les longueurs F1 + PF2 =2a, où P est un point arbitraire sur l'ellipse. L'excentricité e est définie comme le rapport entre la distance d'un foyer au point arbitraire (PF 2) et la distance perpendiculaire au point arbitraire de la directrice (PD). Il est aussi égal à la distance entre les deux foyers et le demi-grand axe: e=PF/PD=f/a
L'équation générale de l'ellipse, lorsque le demi-grand axe et le demi-petit axe coïncident avec les axes cartésiens, est donnée comme suit.
x2/a2 + y2/b2=1
La géométrie de l'ellipse a de nombreuses applications, notamment en physique. Les orbites des planètes du système solaire sont elliptiques avec le soleil comme foyer. Les réflecteurs pour antennes et dispositifs acoustiques sont de forme elliptique pour profiter du fait que toute émission d'un foyer convergera vers l'autre foyer.
En savoir plus sur l'hyperbole
L'hyperbole est aussi une section conique, mais elle est ouverte. Le terme hyperbole fait référence aux deux courbes déconnectées représentées sur la figure. Plutôt que de se fermer comme une ellipse, les bras ou les branches de l'hyperbole continuent à l'infini.
Les points où les deux branches ont la distance la plus courte entre elles sont appelés sommets. La ligne passant par les sommets est considérée comme le grand axe ou l'axe transversal, et c'est l'un des axes principaux de l'hyperbole. Les deux foyers de la parabole se trouvent également sur le grand axe. Le milieu de la ligne entre les deux sommets est le centre et la longueur du segment de ligne est le demi-grand axe. La bissectrice perpendiculaire du demi-grand axe est l'autre axe principal, et les deux courbes de l'hyperbole sont symétriques autour de cet axe. L'excentricité de la parabole est supérieure à un; e > 1.
Si les axes principaux coïncident avec les axes cartésiens, l'équation générale de l'hyperbole est de la forme:
x2/a2 – y2/b2=1,
où a est le demi-grand axe et b est la distance entre le centre et l'un ou l'autre des foyers.
Les hyperboles dont les extrémités ouvertes font face à l'axe des x sont appelées hyperboles est-ouest. Des hyperboles similaires peuvent également être obtenues sur l'axe y. Celles-ci sont connues sous le nom d'hyperboles d'axe y. L'équation de ces hyperboles prend la forme
y2/a2 – x2/b2=1
Quelle est la différence entre Hyperbole et Ellipse ?
• Les ellipses et l'hyperbole sont des sections coniques, mais l'ellipse est une courbe fermée tandis que l'hyperbole se compose de deux courbes ouvertes.
• Par conséquent, l'ellipse a un périmètre fini, mais l'hyperbole a une longueur infinie.
• Les deux sont symétriques autour de leur axe majeur et mineur, mais la position de la directrice est différente dans chaque cas. Dans l'ellipse, il se situe à l'extérieur du demi-grand axe tandis que, dans l'hyperbole, il se situe dans le demi-grand axe.
• Les excentricités des deux sections coniques sont différentes.
0 <eEllipse < 1
eHyperbole > 0
• L'équation générale des deux courbes se ressemble, mais elles sont différentes.
• La bissectrice perpendiculaire du grand axe coupe la courbe dans l'ellipse, mais pas dans l'hyperbole.
(Source des images: Wikipédia)
