Fonction discrète vs fonction continue
Les fonctions sont l'une des classes les plus importantes d'objets mathématiques, qui sont largement utilisées dans presque tous les sous-domaines des mathématiques. Comme leurs noms le suggèrent, les fonctions discrètes et les fonctions continues sont deux types particuliers de fonctions.
Une fonction est une relation entre deux ensembles définie de telle manière que pour chaque élément du premier ensemble, la valeur qui lui correspond dans le second ensemble est unique. Soit f une fonction définie de l'ensemble A dans l'ensemble B. Alors pour chaque x ϵ A, le symbole f (x) désigne la valeur unique dans l'ensemble B qui correspond à x. On l'appelle l'image de x sous f. Donc, une relation f de A dans B est une fonction, si et seulement si pour, chaque xϵ A et y ϵ A; si x=y alors f (x)=f (y). L'ensemble A est appelé le domaine de la fonction f, et c'est l'ensemble dans lequel la fonction est définie.
Par exemple, considérons la relation f de R dans R définie par f (x)=x + 2 pour chaque xϵ A. C'est une fonction dont le domaine est R, car pour chaque nombre réel x et y, x=y implique f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Mais la relation g de N dans N définie par g (x)=a, où 'a' est un facteur premier de x n'est pas une fonction car g (6)=3, ainsi que g (6)=2.
Qu'est-ce qu'une fonction discrète ?
Une fonction discrète est une fonction dont le domaine est au plus dénombrable. Simplement, cela signifie qu'il est possible de faire une liste qui inclut tous les éléments du domaine.
Tout ensemble fini est au plus dénombrable. L'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des nombres rationnels sont des exemples d'ensembles infinis au plus dénombrables. L'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres irrationnels ne sont au plus dénombrables. Les deux ensembles sont innombrables. Cela signifie qu'il est impossible de faire une liste qui inclut tous les éléments de ces ensembles.
L'une des fonctions discrètes les plus courantes est la fonction factorielle. f:N U{0}→N définie récursivement par f (n)=n f (n-1) pour tout n ≥ 1 et f (0)=1 est appelée la fonction factorielle. Observez que son domaine N U{0} est au plus dénombrable.
Qu'est-ce qu'une fonction continue ?
Soit f une fonction telle que pour tout k dans le domaine de f, f (x)→ f (k) lorsque x → k. Alors f est une fonction continue. Cela signifie qu'il est possible de rendre f (x) arbitrairement proche de f (k) en rendant x suffisamment proche de k pour chaque k dans le domaine de f.
Considérons la fonction f (x)=x + 2 sur R. On peut voir que comme x → k, x + 2 → k + 2 c'est f (x) → f (k). Par conséquent, f est une fonction continue. Maintenant, considérons g sur des nombres réels positifs g (x)=1 si x > 0 et g (x)=0 si x=0. Alors, cette fonction n'est pas une fonction continue car la limite de g (x) n'existe pas (et donc elle n'est pas égale à g (0)) lorsque x → 0.
Quelle est la différence entre une fonction discrète et une fonction continue ?
• Une fonction discrète est une fonction dont le domaine est au plus dénombrable mais ce n'est pas nécessairement le cas dans les fonctions continues.
• Toutes les fonctions continues ƒ ont la propriété que ƒ(x)→ƒ(k) comme x → k pour chaque x et pour chaque k dans le domaine de ƒ, mais ce n'est pas le cas dans certaines fonctions discrètes.
