Différence entre l'intégration et la sommation

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 13:38

Intégration vs Sommation

Dans les mathématiques supérieures au lycée, l'intégration et la sommation se retrouvent souvent dans les opérations mathématiques. Ils sont apparemment utilisés comme des outils différents et dans des situations différentes, mais ils partagent une relation très étroite.

En savoir plus sur Summation

La sommation est l'opération d'addition d'une séquence de nombres et l'opération est souvent désignée par la lettre grecque de sigma majuscule Σ. Il est utilisé pour abréger la sommation et égal à la somme/total de la séquence. Ils sont souvent utilisés pour représenter les séries, qui sont essentiellement des séquences infinies résumées. Ils peuvent également être utilisés pour indiquer la somme de vecteurs, de matrices ou de polynômes.

La sommation est généralement effectuée pour une plage de valeurs qui peuvent être représentées par un terme général, comme une série qui a un terme commun. Le point de départ et le point d'arrivée de la sommation sont connus comme la limite inférieure et la limite supérieure de la sommation, respectivement.

Par exemple, la somme de la séquence a₁, a₂, a₃, a ₄, …, un_n est un₁ + un₂ + un ₃ + … + a_n qui peut être facilement représenté en utilisant la notation de sommation comme ∑ _i=1 un_{i; i est appelé l'indice de sommation.}

De nombreuses variantes sont utilisées pour la sommation en fonction de l'application. Dans certains cas, la borne supérieure et la borne inférieure peuvent être données sous la forme d'un intervalle ou d'une plage, comme ∑_1≤i≤100 a_i et ∑_{i∈[1, 100]} a_i Ou il peut être donné comme un ensemble de nombres comme ∑_i∈P a_{i, où P est un ensemble défini.}

Dans certains cas, deux signes sigma ou plus peuvent être utilisés, mais ils peuvent être généralisés comme suit; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

De plus, la sommation suit de nombreuses règles algébriques. Étant donné que l'opération intégrée est l'addition, de nombreuses règles courantes de l'algèbre peuvent être appliquées aux sommes elles-mêmes et aux termes individuels représentés par la sommation.

En savoir plus sur l'intégration

L'intégration est définie comme le processus inverse de différenciation. Mais dans sa vue géométrique, il peut également être considéré comme la zone délimitée par la courbe de la fonction et l'axe. Par conséquent, le calcul de la surface donne la valeur d'une intégrale définie comme indiqué dans le diagramme.

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La valeur de l'intégrale définie est en fait la somme des petites bandes à l'intérieur de la courbe et de l'axe. L'aire de chaque bande est la hauteur x largeur au point de l'axe considéré. La largeur est une valeur que nous pouvons choisir, disons ∆x. Et la hauteur est approximativement la valeur de la fonction au point considéré, disons f (x_{i). D'après le diagramme, il est évident que plus les bandes sont petites, mieux les bandes s'intègrent à l'intérieur de la zone délimitée, d'où une meilleure approximation de la valeur.}

Donc, en général l'intégrale définie I, entre les points a et b (c'est-à-dire dans l'intervalle [a, b] où a<b), peut être donnée comme I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, où n est le nombre de bandes (n=(b-a)/∆x). Cette sommation de l'aire peut être facilement représentée en utilisant la notation de sommation comme I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Comme l'approximation est meilleure lorsque ∆x est plus petit, on peut calculer la valeur lorsque ∆x→0. Par conséquent, il est raisonnable de dire I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Comme généralisation du concept ci-dessus, nous pouvons choisir le ∆x en fonction de l'intervalle considéré indexé par i (en choisissant la largeur de la zone en fonction de la position). Ensuite, nous obtenons

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

C'est ce qu'on appelle l'intégrale de Reimann de la fonction f (x) dans l'intervalle [a, b]. Dans ce cas, a et b sont connus comme la borne supérieure et la borne inférieure de l'intégrale. L'intégrale de Reimann est une forme de base de toutes les méthodes d'intégration.

Essentiellement, l'intégration est la somme de l'aire lorsque la largeur du rectangle est infinitésimale.

Quelle est la différence entre l'intégration et la sommation ?

• La sommation consiste à additionner une séquence de nombres. Habituellement, la sommation est donnée sous cette forme ∑_i=1 a_{i lorsque les termes de la séquence avoir un modèle et peut être exprimé en utilisant un terme général.}

• L'intégration est essentiellement la zone délimitée par la courbe de la fonction, l'axe et les limites supérieure et inférieure. Cette zone peut être donnée comme la somme de zones beaucoup plus petites incluses dans la zone délimitée.

• La sommation implique les valeurs discrètes avec les bornes supérieure et inférieure, tandis que l'intégration implique des valeurs continues.

• L'intégration peut être interprétée comme une forme spéciale de sommation.

• Dans les méthodes de calcul numérique, l'intégration est toujours effectuée sous forme de sommation.