Logarithmique vs Exponentiel | Fonction exponentielle vs fonction logarithmique
Les fonctions sont l'une des classes les plus importantes d'objets mathématiques, qui sont largement utilisées dans presque tous les sous-domaines des mathématiques. Comme leurs noms l'indiquent, la fonction exponentielle et la fonction logarithmique sont deux fonctions spéciales.
Une fonction est une relation entre deux ensembles définie de telle sorte que pour chaque élément du premier ensemble, la valeur qui lui correspond dans le second ensemble soit unique. Soit ƒ une fonction définie de l'ensemble A dans l'ensemble B. Alors pour chaque x ϵ A, le symbole ƒ(x) désigne la valeur unique dans l'ensemble B qui correspond à x. On l'appelle l'image de x sous ƒ. Par conséquent, une relation ƒ de A dans B est une fonction, si et seulement si, pour chaque x ϵ A et y ϵ A, si x=y alors ƒ(x)=ƒ(y). L'ensemble A est appelé le domaine de la fonction ƒ, et c'est l'ensemble dans lequel la fonction est définie.
Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle est la fonction donnée par ƒ(x)=ex, où e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) et est un nombre irrationnel transcendantal. L'une des spécialités de la fonction est que la dérivée de la fonction est égale à elle-même; c'est-à-dire quand y=ex, dy/dx=ex De plus, la fonction est une fonction croissante continue partout ayant l'axe des x comme asymptote. Par conséquent, la fonction est également univoque. Pour chaque x ϵ R, nous avons que ex> 0, et on peut montrer qu'il est sur R + De plus, il suit l'identité de base ex+y=exey et e0 =1. La fonction peut également être représentée en utilisant le développement en série donné par 1 + x/1 ! + x2/2 ! + x3/3 ! + … + x/n ! + …
Qu'est-ce qu'une fonction logarithmique ?
La fonction logarithmique est l'inverse de la fonction exponentielle. Puisque la fonction exponentielle est un-à-un et sur R +, une fonction g peut être définie à partir de l'ensemble des nombres réels positifs dans l'ensemble des nombres réels donné par g(y)=x, si et seulement si, y=ex Cette fonction g est appelée la fonction logarithmique ou le plus souvent le logarithme népérien. Il est noté g(x)=log ex=ln x. Puisqu'il s'agit de l'inverse de la fonction exponentielle, si nous prenons la réflexion du graphique de la fonction exponentielle sur la ligne y=x, nous aurons alors le graphique de la fonction logarithmique. Ainsi, la fonction est asymptotique à l'axe des ordonnées.
La fonction logarithmique suit quelques règles de base parmi lesquelles ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y et ln xy=y ln x sont les plus importantes. C'est aussi une fonction croissante, et elle est continue partout. Par conséquent, c'est aussi un à un. On peut montrer qu'il est sur R.
Quelle est la différence entre la fonction exponentielle et la fonction logarithmique ?
• La fonction exponentielle est donnée par ƒ(x)=ex, tandis que la fonction logarithmique est donnée par g(x)=ln x, et le premier est l'inverse de la dernier.
• Le domaine de la fonction exponentielle est un ensemble de nombres réels, mais le domaine de la fonction logarithmique est un ensemble de nombres réels positifs.
• La plage de la fonction exponentielle est un ensemble de nombres réels positifs, mais la plage de la fonction logarithmique est un ensemble de nombres réels.
