Parallélogramme vs Quadrilatère
Les quadrilatères et les parallélogrammes sont des polygones trouvés dans la géométrie euclidienne. Le parallélogramme est un cas particulier du quadrilatère. Les quadrilatères peuvent être plans (2D) ou tridimensionnels tandis que les parallélogrammes sont toujours plans.
Quadrilatère
Le quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Il a quatre sommets et la somme des angles internes est de 3600 (2π rad). Les quadrilatères sont classés en catégories de quadrilatères auto-sécants et simples. Les quadrilatères auto-sécants ont deux côtés ou plus qui se croisent, et des figures géométriques plus petites (telles que des triangles sont formés à l'intérieur du quadrilatère).
Les quadrilatères simples sont également divisés en quadrilatères convexes et concaves. Les quadrilatères concaves ont des côtés adjacents formant des angles réflexes à l'intérieur de la figure. Les quadrilatères simples qui n'ont pas d'angles réflexes à l'intérieur sont des quadrilatères convexes. Les quadrilatères convexes peuvent toujours avoir des dallages.
Une grande partie de la géométrie des quadrilatères aux niveaux initiaux concerne les quadrilatères convexes. Certains quadrilatères nous sont très familiers depuis l'époque des écoles élémentaires. Voici un schéma montrant différents quadrilatères convexes.
Parallélogramme
Le parallélogramme peut être défini comme la figure géométrique à quatre côtés, avec des côtés opposés parallèles les uns aux autres. Plus précisément c'est un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles. Cette nature parallèle donne de nombreuses caractéristiques géométriques aux parallélogrammes.
Un quadrilatère est un parallélogramme si les caractéristiques géométriques suivantes sont trouvées.
• Deux paires de côtés opposés sont de longueur égale. (AB=DC, AD=BC)
• Deux paires d'angles opposés sont de taille égale. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Si les angles adjacents sont supplémentaires [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Une paire de côtés opposés est parallèle et de longueur égale. (AB=DC & AB∥DC)
• Les diagonales se coupent en leur milieu (AO=OC, BO=OD)
• Chaque diagonale divise le quadrilatère en deux triangles congrus. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
De plus, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales. Ceci est parfois appelé la loi du parallélogramme et a de nombreuses applications en physique et en ingénierie. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Chacune des caractéristiques ci-dessus peut être utilisée comme propriété, une fois qu'il est établi que le quadrilatère est un parallélogramme.
L'aire du parallélogramme peut être calculée par le produit de la longueur d'un côté et de la hauteur du côté opposé. Par conséquent, l'aire du parallélogramme peut être indiquée comme
Aire du parallélogramme=base × hauteur=AB×h
L'aire du parallélogramme est indépendante de la forme du parallélogramme individuel. Il ne dépend que de la longueur de la base et de la hauteur perpendiculaire.
Si les côtés d'un parallélogramme peuvent être représentés par deux vecteurs, l'aire peut être obtenue par la grandeur du produit vectoriel (produit croisé) des deux vecteurs adjacents.
Si les côtés AB et AD sont représentés par les vecteurs ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) et ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respectivement, l'aire du le parallélogramme est donné par [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], où α est l'angle entre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] et [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Voici quelques propriétés avancées du parallélogramme;
• L'aire d'un parallélogramme est le double de l'aire d'un triangle créé par l'une de ses diagonales.
• L'aire du parallélogramme est divisée en deux par toute ligne passant par le milieu.
• Toute transformation affine non dégénérée prend un parallélogramme vers un autre parallélogramme
• Un parallélogramme a une symétrie de rotation d'ordre 2
• La somme des distances de n'importe quel point intérieur d'un parallélogramme aux côtés est indépendante de l'emplacement du point
Quelle est la différence entre un parallélogramme et un quadrilatère ?
• Les quadrilatères sont des polygones à quatre côtés (parfois appelés tétragones) tandis que le parallélogramme est un type spécial de quadrilatère.
• Les quadrilatères peuvent avoir leurs côtés dans différents plans (dans l'espace 3D) tandis que tous les côtés du parallélogramme se trouvent sur le même plan (planaire/bidimensionnel).
• Les angles intérieurs du quadrilatère peuvent prendre n'importe quelle valeur (y compris les angles réflexes) de sorte qu'ils totalisent 3600. Les parallélogrammes ne peuvent avoir que des angles obtus comme type d'angle maximum.
• Quatre côtés du quadrilatère peuvent être de longueurs différentes tandis que les côtés opposés du parallélogramme sont toujours parallèles entre eux et de longueur égale.
• Toute diagonale divise le parallélogramme en deux triangles congrus, tandis que les triangles formés par la diagonale d'un quadrilatère général ne sont pas nécessairement congruents.
