Parallélogramme vs Losange
Le parallélogramme et le losange sont des quadrilatères. La géométrie de ces figures était connue de l'homme depuis des milliers d'années. Le sujet est explicitement traité dans le livre "Eléments" écrit par le mathématicien grec Euclide.
Parallélogramme
Le parallélogramme peut être défini comme la figure géométrique à quatre côtés, avec des côtés opposés parallèles les uns aux autres. Plus précisément c'est un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles. Cette nature parallèle donne de nombreuses caractéristiques géométriques aux parallélogrammes.
Un quadrilatère est un parallélogramme si les caractéristiques géométriques suivantes sont trouvées.
• Deux paires de côtés opposés sont de longueur égale. (AB=DC, AD=BC)
• Deux paires d'angles opposés sont de taille égale. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Si les angles adjacents sont supplémentaires [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Une paire de côtés opposés est parallèle et de longueur égale. (AB=DC & AB∥DC)
• Les diagonales se coupent en leur milieu (AO=OC, BO=OD)
• Chaque diagonale divise le quadrilatère en deux triangles congrus. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
De plus, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales. Ceci est parfois appelé la loi du parallélogramme et a de nombreuses applications en physique et en ingénierie. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Chacune des caractéristiques ci-dessus peut être utilisée comme propriété, une fois qu'il est établi que le quadrilatère est un parallélogramme.
L'aire du parallélogramme peut être calculée par le produit de la longueur d'un côté et de la hauteur du côté opposé. Par conséquent, l'aire du parallélogramme peut être indiquée comme
Aire du parallélogramme=base × hauteur=AB×h
L'aire du parallélogramme est indépendante de la forme du parallélogramme individuel. Il ne dépend que de la longueur de la base et de la hauteur perpendiculaire.
Si les côtés d'un parallélogramme peuvent être représentés par deux vecteurs, l'aire peut être obtenue par la grandeur du produit vectoriel (produit croisé) des deux vecteurs adjacents.
Si les côtés AB et AD sont représentés par les vecteurs ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) et ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) respectivement, l'aire du le parallélogramme est donné par [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], où α est l'angle entre [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] et [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Voici quelques propriétés avancées du parallélogramme;
• L'aire d'un parallélogramme est le double de l'aire d'un triangle créé par l'une de ses diagonales.
• L'aire du parallélogramme est divisée en deux par toute ligne passant par le milieu.
• Toute transformation affine non dégénérée prend un parallélogramme vers un autre parallélogramme
• Un parallélogramme a une symétrie de rotation d'ordre 2
• La somme des distances de n'importe quel point intérieur d'un parallélogramme aux côtés est indépendante de l'emplacement du point
Rhombe
Un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur est appelé losange. Il est également nommé quadrilatère équilatéral. Il est considéré comme ayant une forme de diamant, semblable à celui des cartes à jouer.
Rhombe est aussi un cas particulier du parallélogramme. Il peut être considéré comme un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux. Et il a les propriétés spéciales suivantes, en plus des propriétés d'un parallélogramme.
• Les diagonales du losange se coupent à angle droit; les diagonales sont perpendiculaires.
• Les diagonales coupent en deux les deux angles internes opposés.
• Au moins deux des côtés adjacents sont de longueur égale.
L'aire du losange peut être calculée de la même manière que le parallélogramme.
Quelle est la différence entre un parallélogramme et un losange ?
• Le parallélogramme et le losange sont des quadrilatères. Le losange est un cas particulier des parallélogrammes.
• La surface de n'importe quel peut être calculée à l'aide de la formule base ×height.
• Considérant les diagonales;
– Les diagonales du parallélogramme se coupent en deux, et coupent le parallélogramme en deux pour former deux triangles congruents.
– Les diagonales du losange se coupent à angle droit et les triangles formés sont équilatéraux.
• Considérant les angles internes;
– Les angles internes opposés du parallélogramme sont de taille égale. Deux angles internes adjacents sont supplémentaires.
– Les angles internes du losange sont bissectés par les diagonales.
• Considérant les côtés;
– Dans un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés de la diagonale (loi du parallélogramme).
– Comme les quatre côtés sont égaux dans un losange, quatre fois le carré d'un côté est égal à la somme des carrés de la diagonale.
